ลากรองจ์เป็นหนึ่งในผู้คิดค้นแคลคูลัสของการผันแปร (Calculus of variations) และสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ (Euler-Lagrange Equation) นอกจากนี้เขายังขยายวิธีการพิจารณาระบบที่ถูกเงื่อนไขบางอย่างบังคับไว้ (Contrains) กลายเป็นวิธีการที่เรียกว่า ตัวคูณลากรองจ์ (Lagrange multipliers) ลากรองจ์คิดค้นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่รู้จักกันในวิธีการแปรผันของตัวแปรเสริม (Variation of parameters) และการประยุกต์แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential calculus) กับทฤษฎีความน่าจะเป็น(Theory of probabilities) รวมถึงการหาผลเฉลยของสมการต่างๆ เขาพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวมของตัวเลขสี่ตัวที่ยกกำลังสอง (Sum of four squares) และ Theorie des fonctions analytiques ที่เขาคิดค้นยังเป็นทฤษฎีรากฐานสำหรับการศึกษา ทฤษฎีกรุป (group theory) และ anticipating Galois อีกด้วยสำหรับแคลคูลัส ลากรองจ์ได้พัฒนาวิธีการใหม่สำหรับการประมาณช่วงของฟังก์ชันและอนุกรมเทย์เลอร์ เขาศึกษาปัญหาสามวัตถุ (three-body problem) สำหรับอธิบายความสัมพันธ์ของโลก ดวงอาทิตย์และดวงจันทร์ (1764) และศึกษาการเคลื่อนที่ของดาวบริวารของดาวพฤหัสบดี (1766) และในปี 1772 ยังค้นพบว่าการแก้ปัญหากรณีพิเศษเพื่อแก้ไขปัญหานี้ เป็นที่มาจุดดาวเทียม หรือจุดลากรองจ์ (Lagrangian points) แต่ที่สำคัญเขาเป็นที่รู้จักกันดีในเรื่องของกลศาสตร์ที่เขาสามารถเปลี่ยนกลศาสตร์นิวโตเนียน (Newtonian mechanics) เป็นสาขาของการวิเคราะห์กลศาสตร์ลากรองจ์ (Lagrangian mechanics) ที่รู้จักกันในปัจจุบันและถูกนำเสนอเป็น "หลักการ" (principles) อย่างง่ายของแคลคูลัสของการผันแปร (Calculus of variations)